Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Gerak Dua Dimensi

 

Vektor Posisi dan Perpindahan

Vektor posisi digunakan untuk menunjukkan posisi sebuah objek pada titik koordinat (bidang xy) tertentu dengan menggunakan konsep vektor, 

\(\mathbf{r}=x\widehat{\text{i}}+y\widehat{\text{j}}\)

Vektor perpindahan merupakan perubahan vektor posisi suatu objek yang bergerak dari titik awal ke titik akhir. Vektor perpindahan tidak bergantung terhadap jalur perjalanannya, melainkan bergantung terhadap titik akhir. 

\(\Delta \mathbf{r}={{\mathbf{r}}_{2}}-{{\mathbf{r}}_{1}}=\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)\widehat{\text{i}}+\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)\widehat{\text{j}}=\Delta x\widehat{\text{i}}+\Delta y\widehat{\text{j}}\)

Vektor Kecepatan Rata-rata dan Kecepatan Sesaat 

Vektor kecepatan didefinisikan sebagai rasio antara vektor perpindahan dengan interval waktu,

\(\overline{\mathbf{v}}=\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}\)

Vektor kecepatan sesaat sama dengan turunan vektor posisi terhadap waktu,

\(\mathbf{v}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\widehat{\text{i}}+\frac{dy}{dt}\widehat{\text{j}}={{v}_{x}}\widehat{\text{i}}+{{v}_{y}}\widehat{\text{j}}\)

Besar dari vektor kecepatan sesaat  \(v=\left| \mathbf{v} \right|\) merupakan kelajuan, yaitu,

\(v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\)

Arah dari vektor kecepatan diberikan oleh sudut, 

\(\theta ={{\tan }^{-1}}\frac{{{v}_{x}}}{{{v}_{y}}}\)

Vektor Percepatan 

Vektor percepatan rata-rata didefinisikan sebagai rasio perubahan vektor kecepatan sesaat dengan interval waktu selama perubahan terjadi,

\(\overline{\mathbf{a}}=\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}\)

Vektor percepatan sesaat didefinisikan sebagai limit dari rasio perubahan vektor kecepatan sesaat dengan interval waktu, 

\(\mathbf{a}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}\)

Dimana komponen-komponen vektor percepatan sesaatnya yaitu, 

\(\begin{matrix} {{a}_{x}}=\frac{d{{v}_{x}}}{dt}, & {{a}_{y}}=\frac{d{{v}_{y}}}{dt} & {} \\ \end{matrix}\)

Gerak Dua Dimensi dengan Percepatan Konstan

Kasus gerak dengan percepatan konstan dapat diselesaikan menggunakan persamaan kinematika. Dalam dua ataupun tiga dimensi, jika vektor percepatan a memiliki arah dan besar vektor percepatan konstan, maka komponen-komponen vektor ax dan ay juga konstan. 

\(\begin{matrix} \mathbf{v}={{\mathbf{v}}_{0}}+\mathbf{a}t\text{ } & \begin{matrix} \langle & \begin{matrix} {{v}_{x}}={{v}_{0x}}+{{a}_{x}}t \\ {{v}_{y}}={{v}_{0y}}+{{a}_{y}}t \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\)

\(\begin{matrix} \mathbf{r}={{\mathbf{r}}_{0}}+{{\mathbf{v}}_{0}}t+\frac{1}{2}\mathbf{a}{{t}^{2}}\text{ } & \begin{matrix} \langle & \begin{matrix} x={{x}_{0}}+{{v}_{0x}}t+\frac{1}{2}{{a}_{x}}{{t}^{2}} \\ y={{y}_{0}}+{{v}_{0y}}t+\frac{1}{2}{{a}_{y}}{{t}^{2}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\)

Gerak Proyektil atau Gerak Parabola

Gerak proyektil merupakan gerak translasi suatu objek yang melalui udara dalam dua dimensi dan memiliki lintasan parabola. 

Gerak Parabola

Komponen-komponen x dan y dari kecepatan awal yaitu, 

\(\begin{matrix} {{v}_{0x}}={{v}_{0}}\text{cos}\theta \text{ } & {{v}_{0y}}={{v}_{0}}\sin \theta \\ \end{matrix}\)

Persamaan kinematika untuk gerak proyektil sebagai berikut, 
Gerak secara Horizon (ax=0=konstan)

\({{v}_{x}}={{v}_{x0}}\)

\(x={{x}_{0}}+{{v}_{x0}}t\)

Gerak secara Vertikal (ay=-g=konstan)

\({{v}_{y}}={{v}_{y0}}-gt\)

\(y={{y}_{0}}+{{v}_{y0}}t-\frac{1}{2}g{{t}^{2}}\)

Persamaan untuk mencari posisi proyektil yang bergerak dari titik asal (x0,y0=0)

\(\begin{matrix} x={{v}_{0x}}t\text{ } & y={{v}_{0y}}t-\frac{1}{2}g{{t}^{2}} \\ \end{matrix}\)

Jarak atau jangkauan horizontal maksimum proyektil,

\(R=\frac{v_{0}^{2}\sin 2\theta }{g}\)

Tinggi maksimum (vertikal) proyektil 

\(h=\frac{v_{0}^{2}{{\sin }^{2}}\theta }{2g}\)

Gerak Melingkar Beraturan 

Vektor percepatan pada gerak melingkar beraturan selalu tegak lurus lintasan dan selalu menuju ke pusat lingkaran. Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal yang besarnya, 

\({{a}_{c}}=\frac{{{v}^{2}}}{r}\)

r adalah jari-jari lingkaran, ac merupakan percepatan sentripetal. Waktu yang dibutuhan objek untuk melakukan satu putaran revolusi dalam gerak melingkar beraturan disebut sebagai periode (T),

\(T\equiv \frac{2\pi r}{v}\)

Percepatan Tangensial dan Percepatan Radial 

Komponen percepatan tangensial menyebabkan perubahan kelajuan suatu objek. 

\({{a}_{t}}=\frac{d\left| \mathbf{v} \right|}{dt}\)

Komponen percepatan radial muncul dari perubahan arah vektor kecepatan,

\({{a}_{r}}=-{{a}_{c}}=-\frac{{{v}^{2}}}{r}\)

Vektor percepatan total dapat dinyatakan sebagai jumlah vektor dari vektor-vektor komponen percepatan tangensial dan percepatan radial,

\(\mathbf{a}={{\mathbf{a}}_{t}}+{{\mathbf{a}}_{r}}=\frac{d\left| \mathbf{v} \right|}{dt}\widehat{\theta }-\frac{{{v}^{2}}}{r}\widehat{r}\)

Kecepatan dan Percepatan Relatif 

Kecepatan suatu objek yang dihitung dari posisi tetap sudut pandang S yaitu,

\(\mathbf{v}'=\mathbf{v}-{{\mathbf{v}}_{0}}\)

Dimana v’ adalah kecepatan objek yang diamati dari sudut pandang S’, dan v adalah kecepatan objek yang diamati dari sudut pandang S, Vo adalah kecepatan S’ relatif terhadap S. 

\(\frac{d}{dt}\mathbf{v}'=\frac{d}{dt}\mathbf{v}-\frac{d}{dt}{{\mathbf{v}}_{0}}\)

Posting Komentar untuk "Gerak Dua Dimensi"